A Legemer

Et legeme er en mængde $\mathbb{F}$ , hvorpå der er defineret en addition og multiplikation, som vi kender det fra de reelle tal $\mathbb{R}$ . Vi starter med at præcisere denne noget upræcise definition. I første omgang lader vi

$\begin{aligned} \mathcal{A} &: \mathbb{F} \times \mathbb{F} \rightarrow \mathbb{F}, \end{aligned}$

$\begin{aligned} \mathcal{M} &: \mathbb{F} \times \mathbb{F} \rightarrow \mathbb{F}, \end{aligned}$ betegne afbildninger. Notationen $\mathbb{F} \times \mathbb{F}$ betegner her alle par $(\alpha, \beta)$ bestående af elementer $\alpha,\beta \in \mathbb{F}$ . Man kan derfor opfatte $\mathcal A$ og $\mathcal M$ som operationer, også kaldet kompositioner, der til to givne arbitrære elementer $\alpha$ og $\beta$ i $\mathbb{F}$ knytter et nyt element i $\mathbb{F}$ .

Vi anvender nedenfor den korte notation $\alpha + \beta$ om $\mathcal A(\alpha,\beta)$ samt $\alpha \cdot \beta$ om $\mathcal M(\alpha,\beta)$ . Kompositionen $\mathcal A$ , eller blot $+$ , omtales nedenfor som addition, mens $\mathcal M$ , eller blot $\cdot$ , kaldes multiplikation. Vi definerer da:

Mængden $\mathbb{F}$ , med kompositionerne $+$ og $\cdot$ , kaldes et legeme, såfremt der eksisterer to elementer $0,1 \in \mathbb{F}$ , med $0 \neq 1$ , så følgende betingelser er opfyldt:

$\forall \alpha,\beta \in \mathbb{F} : \alpha + \beta = \beta + \alpha$ . (den kommutative lov for addition)
$\forall \alpha,\beta,\gamma \in \mathbb{F} : (\alpha + \beta) + \gamma = \alpha + (\beta + \gamma)$ . (den associative lov for addition)
$\forall \alpha \in \mathbb{F} : 0 + \alpha = \alpha$ . (eksistens af neutralelement for addition)
$\forall \alpha \in \mathbb{F}, \exists -\alpha \in \mathbb{F} : \alpha + (- \alpha) = 0$ . (eksistens af additivt inverse elementer)
$\forall \alpha,\beta \in \mathbb{F} : \alpha \cdot \beta = \beta \cdot \alpha$ . (den kommutative lov for multiplikation)
$\forall \alpha,\beta,\gamma \in \mathbb{F} : (\alpha \cdot \beta) \cdot \gamma = \alpha \cdot (\beta \cdot \gamma)$ . (den associative lov for multiplikation)
$\forall \alpha \in \mathbb{F} : 1 \cdot \alpha = \alpha$ . (eksistens af neutralelement for multiplikation)
$\forall \alpha \in \mathbb{F} \setminus \left\{ 0 \right\}, \exists \alpha^{-1} \in \mathbb{F} : \alpha \cdot \alpha^{-1} = 1$ . (eksistens af mult. inverse elementer)
$\forall \alpha,\beta,\gamma \in \mathbb{F} : \gamma \cdot (\alpha + \beta) = (\gamma \cdot \alpha) + (\gamma \cdot \beta)$ . (den distributive lov)

Det bemærkes, at $1 \neq 0$ i ovenstående definition, og dermed indeholder et legeme altid mindst 2 elementer. Til tider anvendes den korte notation $\alpha \beta$ fremfor $\alpha \cdot \beta$ , når $\alpha, \beta \in \mathbb{F}$ . Elementet $\alpha \cdot \beta$ omtales også som produktet af $\alpha$ og $\beta$ , mens $\alpha + \beta$ omtales som summen. Elementer i $\mathbb{F}$ omtales, i øvrigt, ofte som skalarer.

For $\alpha,\beta,\gamma \in \mathbb{F}$ er $\alpha \cdot ( \beta + \gamma)$ og $(\alpha \cdot \beta ) + \gamma$ ofte forskellige elementer i $\mathbb{F}$ . Det er derfor ikke umiddelbart tilladt at skrive

$\alpha \cdot \beta + \gamma, \tag{A.1}$ med mindre man har gjort sig klart, i hvilken rækkefølge addition og multiplikation skal udføres. Vi vælger i disse noter (som det er kutyme) at prioritere multiplikation højere end addition. Dette betyder, at man i tvetydige tilfælde skal udføre enhver multiplikation før enhver addition. Specielt tolker vi (A.1) som

$(\alpha \cdot \beta ) + \gamma. \tag{A.2}$

Mængderne $\mathbb{Q},\mathbb{R}$ og $\mathbb{C}$ med de sædvanlige definitioner på addition og multiplikation er legemer. Derimod er $\mathbb{Z}$ og $\mathbb{N}$ ikke legemer.
Mængden $\mathbb{F}_2= \left\{ [0], [1] \right\}$ bestående af to elementer, og hvor addition og multiplikation er givet ved hhv.
$[1] \cdot [1] = [1],$
$[1] \cdot [0] = [0] \cdot [0] = [0] \cdot [1]=[0],$ og
$[1]+[1] = [0] + [0] = [0],$
$[0] +[1] = [1]+[0] = [1],$ er et legeme (overlades til læseren). Mere generelt kan vi, for et primtal $p$ , lade $\mathbb{F}_p = \left\{ [0], [1], [2], \ldots, [p-1] \right\}$ betegne en mængde med $p$ elementer. Hvis vi definerer
$[a] + [b] = [c],$ hvor $c \in \{ 0,1,2,\ldots,p-1 \}$ betegner resten ved division af $p$ op i summen $a+b$ , samt
$[a] \cdot [b] = [d],$ hvor $d \in \left\{ 0,1,2,\ldots,p-1 \right\}$ betegner resten ved division af $p$ op i produktet $a \cdot b$ , så er $\mathbb{F}_p$ et legeme. Beviset herfor, specielt at der eksisterer multiplikative inverse, er ikke helt oplagt.
Hvis vi betragter mængden $\left\{ [0], [1], [2], [3] \right\}$ , hvor addition og multiplikation er defineret tilsvarende som i Eksempel A.3 (b.) (ved rest ved division med $4$ i dette tilfælde), så er $\left\{ [0], [1], [2], [3] \right\}$ ikke et legeme. Problemet er, at den eneste mulighed for et multiplikativt neutralt element er $[1]$ , men der findes ikke noget element $[a]$ , så
$[2] \cdot [a] = [1].$

De i Definition A.1 krævede egenskaber ved et legeme implicerer, at addition og multiplikation opfører sig som de tilsvarende operationer i $\mathbb{R}$ . F.eks. har vi:

Lad $\mathbb{F}$ betegne et legeme. Så:

Der eksisterer kun ét additivt og multiplikativt neutralelement.
De additive og multiplikative inverse er entydigt bestemte.
Hvis $\alpha,\beta,\gamma \in \mathbb{F}$ , og
$\beta +\alpha= \gamma + \alpha,$ så er $\beta=\gamma$ .
Lad $\alpha,\beta,\gamma \in \mathbb{F}$ , og antag at
$\beta \cdot\alpha= \gamma \cdot \alpha.$ Hvis $\alpha \neq 0$ , så er $\beta=\gamma$ .
For alle $\alpha \in \mathbb{F}$ har vi: $\alpha \cdot 0 = 0$ .
For alle $\alpha \in \mathbb{F}$ har vi: $-\alpha = (-1) \cdot \alpha$ .

Bevis

Antag, at $0$ og $\tilde 0$ begge opfylder egenskab Definition A.1 (c.) i definitionen på et legeme. Så er

$\begin{aligned} 0 + \tilde 0 &= \tilde 0, \end{aligned}$ og

$\begin{aligned} \tilde 0 + 0 &= 0. \end{aligned}$ Idet addition er kommutativt, så har vi derfor, at

$\tilde 0 = 0 + \tilde 0 = \tilde 0 + 0 = 0,$ hvoraf det følger, at det additive neutralelement er entydigt bestemt. Tilsvarende vises, at det multiplikative neutralelement er entydig bestemt.

Udsagn (c.) følger via beregningerne

$\begin{aligned} \beta & = 0 + \beta & & \text{(jf. Defn. \href{#def:legeme}{A.1} \href{#item:def:legeme:3}{(c.)})} \\ & = \beta + 0 & & \text{(jf. Defn. \href{#def:legeme}{A.1} \href{#item:def:legeme:1}{(a.)})} \\ & = \beta + (\alpha + (-\alpha) ) & & \text{(jf. Defn. \href{#def:legeme}{A.1} \href{#item:def:legeme:4}{(d.)})} \\ & = (\beta + \alpha) + (-\alpha) & & \text{(jf. Defn. \href{#def:legeme}{A.1} \href{#item:def:legeme:2}{(b.)})} \\ & = (\gamma + \alpha) + (-\alpha) & & \text{(jf. antagelse)} \\ & = \gamma + (\alpha + (-\alpha) )& & \text{(jf. Defn. \href{#def:legeme}{A.1} \href{#item:def:legeme:2}{(b.)})} \\ & = \gamma + 0 & & \text{(jf. Defn. \href{#def:legeme}{A.1} \href{#item:def:legeme:4}{(d.)})} \\ & = 0 + \gamma & & \text{(jf. Defn. \href{#def:legeme}{A.1} \href{#item:def:legeme:1}{(a.)}) } \\ & = \gamma & & \text{(jf. Defn. \href{#def:legeme}{A.1} \href{#item:def:legeme:3}{(c.)})}. \end{aligned}$ Tilsvarende vises udsagn (d.).

Vi kan nu vise udsagn (b.): Antag at $-\alpha$ og $x$ begge opfylder egenskaben angivet i Definition A.1 (d.); dvs. at

$\alpha + (-\alpha) = 0 = \alpha + x.$ Ifølge Definition A.1 (a.) så har vi dermed

$(-\alpha) + \alpha = x + \alpha,$ og ved anvendelse af det just viste udsagn (c.), så opnår vi da, at $x=-\alpha$ . Dermed er additive inverse elementer entydigt bestemte. Tilsvarende vises, at multiplikative inverse elementer er entydigt bestemte.

For at vise udsagn (e.) så anvender vi, at identiteten

$0 + 0 = 0 ,$ er opfyldt jf. egenskab Definition A.1 (c.). Dermed er

$0 + (\alpha \cdot 0) = \alpha \cdot 0 = \alpha \cdot ( 0 + 0) = ( \alpha \cdot 0) + (\alpha \cdot 0),$ jf. Definition A.1 (i.), og (e.) følger nu fra det allerede viste udsagn (c.).

Endelig følger udsagn (f.) af

$\begin{aligned} \alpha+ ((-1) \cdot \alpha ) & = (1 \cdot \alpha) + ((-1) \cdot \alpha) & & \text{(jf. Defn. \href{#def:legeme}{A.1} \href{#item:def:legeme:7}{(g.)})} \\ & = (\alpha \cdot 1) + (\alpha \cdot (-1)) & & \text{(jf. Defn. \href{#def:legeme}{A.1} \href{#item:def:legeme:5}{(e.)})} \\ & = \alpha \cdot ( 1 + (-1) ) & & \text{(jf. Defn. \href{#def:legeme}{A.1} \href{#item:def:legeme:9}{(i.)})} \\ & = \alpha \cdot 0 & & \text{(jf. Defn. \href{#def:legeme}{A.1} \href{#item:def:legeme:4}{(d.)})} \\ & = 0, & & \text{(jf. \href{#item:lem:legemer:e}{(e.)})} \end{aligned}$ og det ønskede følger nu ved anvendelse af (b.).

Quiz

Hvilke af følgende mængder er et legeme, når vi definerer addition og multiplikation på sædvanlig vis.

$\mathbb{N}$

$[0,1]$

$\mathbb{C}$

$\{0,1\}$

$\mathbb{R}$

$\mathbb{Q}$

$\{0\}$

Mængden af alle primtal

A.1 Mængderne $\mathbb{F}^n$

I det følgende betegner $\mathbb{F}$ et legeme. For et givet naturligt tal $n$ vil $\mathbb{F}^n$ betegne mængden af alle søjlevektorer

$\begin{pmatrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \vdots \\ \alpha_n \\ \end{pmatrix} , \tag{A.3}$ hvor $\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n$ betegner elementer i $\mathbb{F}$ . Skalaren $\alpha_i$ , for $i=1,2,\ldots,n$ , kaldes for den $i$ 'te koordinat af (A.3). Det specielle element i $\mathbb{F}^n$ med alle koordinater lig $0$ betegnes $\bm{0}$ . Udover at være en mængde så er $\mathbb{F}^n$ også udstyret med en addition defineret ved

$\begin{pmatrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \vdots \\ \alpha_n \\ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \beta_1 \\ \beta_2 \\ \vdots \\ \beta_n \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha_1 + \beta_1 \\ \alpha_2 + \beta_2 \\ \vdots \\ \alpha_n + \beta_n \\ \end{pmatrix} , \tag{A.4}$ samt en metode, kaldet skalarmultiplikation, til at gange en skalar $\beta \in \mathbb{F}$ på et element i $\mathbb{F}^n$ :

$\beta \cdot \begin{pmatrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \vdots \\ \alpha_n \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \beta \alpha_1 \\ \beta \alpha_2 \\ \vdots \\ \beta \alpha_n \\ \end{pmatrix} . \tag{A.5}$ For ${\bm{v}} \in \mathbb{F}^n$ anvender vi den korte notation $-{\bm{v}}$ om $(-1)\cdot {\bm{v}}$ . Samtidig anvender vi notationen $\bm{w} - {\bm{v}}$ om elementet $\bm{w} + (-{\bm{v}})$ , når $\bm{w} \in \mathbb{F}^n$ .

Som for addition og multiplikation indenfor legemer, så er udtryk af formen (for ${\bm{v}},\bm{w} \in \mathbb{F}^n$ , $\beta \in \mathbb{F}$ ):

$\beta \cdot {\bm{v}}+ \bm{w}, \tag{A.6}$ tvetydige, med mindre man har gjort sig klart, i hvilken rækkefølge addition og skalarmultiplikation skal udføres. Vi vælger i disse noter at prioritere skalarmultiplikation højere end addition. Dette betyder, at man i tvetydige tilfælde skal udføre enhver skalarmultiplikation før enhver addition. Specielt tolker vi (A.6) som

$(\beta \cdot {\bm{v}} ) + \bm{w}. \tag{A.7}$

Skalarmultiplikation og addition opfylder følgende naturlige regneregler.

For $\bm{u},{\bm{v}},\bm{w} \in \mathbb{F}^n$ og $\alpha, \beta \in \mathbb{F}$ gælder der:

$\bm{u} + {\bm{v}} = {\bm{v}} + \bm{u}$ . (den kommutative lov)
$(\bm{u} + {\bm{v}}) + \bm{w} = \bm{u} + ({\bm{v}} + \bm{w})$ . (den associative lov)
$\bm{u} + \bm{0} = \bm{u}$ . (eksistens af neutral element)
$\bm{u} + (-\bm{u}) = \bm{0}$ . (eksistens af invers)
$\alpha \cdot (\bm{u} + {\bm{v}}) = \alpha \cdot \bm{u} + \alpha \cdot {\bm{v}}$ . (en distributiv lov)
$(\alpha + \beta) \cdot \bm{u} = \alpha \cdot \bm{u} + \beta \cdot \bm{u}$ . (en distributiv lov)
$\alpha \cdot (\beta \cdot {\bm{v}} ) = (\alpha \beta ) \cdot {\bm{v}}$ .
$1 \cdot {\bm{v}} = {\bm{v}}$ .

Visse specielle elementer i $\mathbb{F}^n$ spiller en central rolle. Disse betegnes med $\bm{e}_1, \bm{e}_2, \ldots,\bm{e}_n$ og defineres, for $i=1,2,\ldots,n$ , ved

$\bm{e}_i = \begin{pmatrix} 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ \end{pmatrix} , \tag{A.8}$ hvor alle koordinater er lig $0$ pånær den $i$ 'te koordinat, som er lig $1$ . Disse elementer omtales også som standardbasiselementer i $\mathbb{F}^n$ .

Udover $\mathbb{F}^n$ så vil vi også betragte mængden $\check \mathbb{F}^n$ bestående af alle rækkevektorer

$(\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n), \tag{A.9}$ hvor $\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n$ betegner elementer i $\mathbb{F}$ . Skalaren $\alpha_i$ , for $i=1,2,\ldots,n$ , kaldes for den $i$ 'te koordinat for (A.9). Mængden $\check \mathbb{F}^n$ er udstyret med en addition og en skalarmultiplikation, der defineres tilsvarende som for $\mathbb{F}^n$ ; dvs. koordinatvis. Alle ovenstående bemærkninger for $\mathbb{F}^n$ kan da overføres til mængden $\check \mathbb{F}^n$ .

A Legemer

A.1 Mængderne \mathbb{F}^n

A.1 Mængderne $\mathbb{F}^n$