Et legeme er en mængde , hvorpå der er
defineret en addition og multiplikation, som vi kender
det fra de reelle tal . Vi starter med at præcisere denne noget
upræcise definition. I første omgang lader vi
betegne afbildninger. Notationen
betegner her alle par bestående
af elementer . Man kan
derfor opfatte og
som operationer, også kaldet kompositioner,
der til to givne arbitrære elementer
og i knytter et nyt element i .Vi anvender nedenfor den korte notation
om samt
om .
Kompositionen , eller
blot , omtales nedenfor som
addition, mens ,
eller blot , kaldes
multiplikation. Vi
definerer da:
Mængden , med kompositionerne og , kaldes et legeme, såfremt der eksisterer to elementer , med , så følgende betingelser er opfyldt:
. (den kommutative lov for addition)
. (den associative lov for addition)
. (eksistens af neutralelement for addition)
. (eksistens af additivt inverse elementer)
. (den kommutative lov for multiplikation)
. (den associative lov for multiplikation)
. (eksistens af neutralelement for multiplikation)
. (eksistens af mult. inverse elementer)
. (den distributive lov)
Det bemærkes, at i ovenstående definition, og dermed
indeholder et legeme altid mindst 2 elementer.
Til tider anvendes den korte notation
fremfor ,
når . Elementet
omtales også som
produktet af og ,
mens omtales som
summen. Elementer i omtales,
i øvrigt, ofte som skalarer.
For er
og
ofte forskellige elementer i .
Det er derfor ikke
umiddelbart tilladt at skrive
med mindre man har gjort sig klart, i hvilken rækkefølge addition og
multiplikation skal udføres. Vi vælger i disse noter (som det er
kutyme) at prioritere multiplikation højere end addition. Dette
betyder, at man i tvetydige tilfælde skal udføre enhver
multiplikation før enhver addition. Specielt tolker vi (A.1)
som
Mængderne og med de
sædvanlige definitioner på addition og multiplikation er
legemer. Derimod er og ikke legemer.
Mængden
bestående af to elementer, og hvor addition og multiplikation er
givet ved hhv.
og
er et legeme (overlades til læseren). Mere generelt kan vi, for et primtal
, lade betegne en mængde med elementer. Hvis vi definerer
hvor betegner resten ved division af
op i summen , samt
hvor betegner resten ved division af
op i produktet , så er et legeme. Beviset
herfor, specielt at der eksisterer multiplikative inverse, er ikke
helt oplagt.
Hvis vi betragter mængden , hvor addition og
multiplikation er defineret tilsvarende som i Eksempel A.3(b.) (ved rest ved division med
i dette tilfælde),
så er ikke et legeme. Problemet er,
at den eneste mulighed for et multiplikativt neutralt element er
, men der findes ikke noget element , så
De i Definition A.1 krævede egenskaber ved et legeme implicerer, at addition og multiplikation
opfører sig som de tilsvarende operationer
i . F.eks. har vi:
Lad betegne et legeme. Så:
Der eksisterer kun ét additivt og multiplikativt
neutralelement.
De additive og multiplikative
inverse er entydigt bestemte.
Antag, at og begge opfylder egenskab
Definition A.1(c.) i definitionen på et legeme. Så er
og
Idet addition er kommutativt, så har vi derfor,
at
hvoraf det følger, at det additive neutralelement er entydigt
bestemt. Tilsvarende vises, at det multiplikative neutralelement er
entydig bestemt.Udsagn (c.) følger via
beregningerne
Tilsvarende vises udsagn (d.).Vi kan nu vise udsagn (b.): Antag at
og begge opfylder egenskaben angivet i
Definition A.1(d.); dvs. at
Ifølge Definition A.1(a.) så har vi
dermed
og ved anvendelse af det just viste
udsagn (c.), så opnår vi da, at
. Dermed er additive inverse elementer entydigt bestemte.
Tilsvarende vises, at multiplikative inverse elementer er entydigt
bestemte.For at vise udsagn (e.) så anvender vi,
at identiteten
er opfyldt jf. egenskab Definition A.1(c.). Dermed er
jf. Definition A.1(i.), og (e.) følger nu
fra det allerede viste udsagn (c.).Endelig følger udsagn (f.) af
og det ønskede følger nu ved anvendelse af (b.).
Hvilke af følgende mængder er et legeme,
når vi definerer addition og multiplikation på sædvanlig vis.
Mængden af alle primtal
A.1 Mængderne
I det følgende betegner et legeme.
For et givet naturligt tal vil betegne
mængden af alle søjlevektorer
hvor
betegner
elementer i . Skalaren ,
for , kaldes for
den 'te koordinat af (A.3). Det specielle element i
med alle koordinater lig betegnes . Udover at være en
mængde så er også udstyret med en addition defineret
ved
samt en metode, kaldet skalarmultiplikation, til at
gange en skalar på et element i :
For anvender vi den korte notation om . Samtidig anvender vi notationen om elementet , når .
Som for addition og multiplikation indenfor legemer, så er udtryk af
formen (for , ):
tvetydige, med mindre man har gjort sig klart, i hvilken rækkefølge
addition og skalarmultiplikation skal udføres. Vi vælger i disse
noter at prioritere skalarmultiplikation højere end addition. Dette
betyder, at man i tvetydige tilfælde skal udføre enhver
skalarmultiplikation før enhver addition. Specielt tolker vi
(A.6) som
Skalarmultiplikation og addition opfylder følgende naturlige
regneregler.
For og gælder der:
.
(den kommutative lov)
. (den associative lov)
.
(eksistens af neutral element)
.
(eksistens af invers)
. (en distributiv
lov)
. (en
distributiv lov)
.
.
Visse specielle elementer i spiller en central rolle. Disse
betegnes med og defineres, for
, ved
hvor alle koordinater er lig pånær den 'te koordinat, som er lig
. Disse elementer omtales også som
standardbasiselementer i .Udover så vil vi også betragte mængden bestående
af alle rækkevektorer
hvor betegner
elementer i . Skalaren , for , kaldes for den
'te
koordinat for (A.9). Mængden er udstyret med
en addition og en skalarmultiplikation,
der defineres tilsvarende som
for ; dvs. koordinatvis. Alle ovenstående bemærkninger for
kan da overføres til mængden .