A Legemer

Et legeme er en mængde F\mathbb{F}, hvorpå der er defineret en addition og multiplikation, som vi kender det fra de reelle tal R\mathbb{R}. Vi starter med at præcisere denne noget upræcise definition. I første omgang lader vi
A:F×F→F,\begin{aligned} \mathcal{A} &: \mathbb{F} \times \mathbb{F} \rightarrow \mathbb{F}, \end{aligned}
M:F×F→F,\begin{aligned} \mathcal{M} &: \mathbb{F} \times \mathbb{F} \rightarrow \mathbb{F}, \end{aligned}
betegne afbildninger. Notationen F×F\mathbb{F} \times \mathbb{F} betegner her alle par (α,β)(\alpha, \beta) bestående af elementer α,β∈F\alpha,\beta \in \mathbb{F}. Man kan derfor opfatte A\mathcal A og M\mathcal M som operationer, også kaldet kompositioner, der til to givne arbitrære elementer α\alpha og β\beta i F\mathbb{F} knytter et nyt element i F\mathbb{F}.
Vi anvender nedenfor den korte notation α+β \alpha + \beta om A(α,β)\mathcal A(\alpha,\beta) samt α⋅β\alpha \cdot \beta om M(α,β)\mathcal M(\alpha,\beta). Kompositionen A\mathcal A, eller blot ++, omtales nedenfor som addition, mens M\mathcal M, eller blot ⋅\cdot, kaldes multiplikation. Vi definerer da:
Mængden F\mathbb{F}, med kompositionerne ++ og ⋅\cdot, kaldes et legeme, såfremt der eksisterer to elementer 0,1∈F0,1 \in \mathbb{F}, med 0≠10 \neq 1, så følgende betingelser er opfyldt:
  1. ∀α,β∈F:α+β=β+α\forall \alpha,\beta \in \mathbb{F} : \alpha + \beta = \beta + \alpha. (den kommutative lov for addition)
  2. ∀α,β,γ∈F:(α+β)+γ=α+(β+γ)\forall \alpha,\beta,\gamma \in \mathbb{F} : (\alpha + \beta) + \gamma = \alpha + (\beta + \gamma). (den associative lov for addition)
  3. ∀α∈F:0+α=α\forall \alpha \in \mathbb{F} : 0 + \alpha = \alpha. (eksistens af neutralelement for addition)
  4. ∀α∈F,∃−α∈F:α+(−α)=0\forall \alpha \in \mathbb{F}, \exists -\alpha \in \mathbb{F} : \alpha + (- \alpha) = 0 . (eksistens af additivt inverse elementer)
  5. ∀α,β∈F:α⋅β=β⋅α\forall \alpha,\beta \in \mathbb{F} : \alpha \cdot \beta = \beta \cdot \alpha. (den kommutative lov for multiplikation)
  6. ∀α,β,γ∈F:(α⋅β)⋅γ=α⋅(β⋅γ)\forall \alpha,\beta,\gamma \in \mathbb{F} : (\alpha \cdot \beta) \cdot \gamma = \alpha \cdot (\beta \cdot \gamma). (den associative lov for multiplikation)
  7. ∀α∈F:1⋅α=α\forall \alpha \in \mathbb{F} : 1 \cdot \alpha = \alpha. (eksistens af neutralelement for multiplikation)
  8. ∀α∈F∖{0},∃α−1∈F:α⋅α−1=1\forall \alpha \in \mathbb{F} \setminus \left\{ 0 \right\}, \exists \alpha^{-1} \in \mathbb{F} : \alpha \cdot \alpha^{-1} = 1. (eksistens af mult. inverse elementer)
  9. ∀α,β,γ∈F:γ⋅(α+β)=(γ⋅α)+(γ⋅β)\forall \alpha,\beta,\gamma \in \mathbb{F} : \gamma \cdot (\alpha + \beta) = (\gamma \cdot \alpha) + (\gamma \cdot \beta). (den distributive lov)
Det bemærkes, at 1≠01 \neq 0 i ovenstående definition, og dermed indeholder et legeme altid mindst 2 elementer. Til tider anvendes den korte notation αβ\alpha \beta fremfor α⋅β\alpha \cdot \beta, når α,β∈F\alpha, \beta \in \mathbb{F}. Elementet α⋅β\alpha \cdot \beta omtales også som produktet af α\alpha og β\beta, mens α+β\alpha + \beta omtales som summen. Elementer i F\mathbb{F} omtales, i øvrigt, ofte som skalarer.
For α,β,γ∈F\alpha,\beta,\gamma \in \mathbb{F} er α⋅(β+γ)\alpha \cdot ( \beta + \gamma) og (α⋅β)+γ (\alpha \cdot \beta ) + \gamma ofte forskellige elementer i F\mathbb{F}. Det er derfor ikke umiddelbart tilladt at skrive
α⋅β+γ,(A.1) \alpha \cdot \beta + \gamma, \tag{A.1}
med mindre man har gjort sig klart, i hvilken rækkefølge addition og multiplikation skal udføres. Vi vælger i disse noter (som det er kutyme) at prioritere multiplikation højere end addition. Dette betyder, at man i tvetydige tilfælde skal udføre enhver multiplikation før enhver addition. Specielt tolker vi (A.1) som
(α⋅β)+γ.(A.2) (\alpha \cdot \beta ) + \gamma. \tag{A.2}
  1. Mængderne Q,R\mathbb{Q},\mathbb{R} og C\mathbb{C} med de sædvanlige definitioner på addition og multiplikation er legemer. Derimod er Z\mathbb{Z} og N\mathbb{N} ikke legemer.
  2. Mængden F2={[0],[1]}\mathbb{F}_2= \left\{ [0], [1] \right\} bestående af to elementer, og hvor addition og multiplikation er givet ved hhv.
    [1]⋅[1]=[1], [1] \cdot [1] = [1],
    [1]⋅[0]=[0]⋅[0]=[0]⋅[1]=[0], [1] \cdot [0] = [0] \cdot [0] = [0] \cdot [1]=[0],
    og
    [1]+[1]=[0]+[0]=[0], [1]+[1] = [0] + [0] = [0],
    [0]+[1]=[1]+[0]=[1], [0] +[1] = [1]+[0] = [1],
    er et legeme (overlades til læseren). Mere generelt kan vi, for et primtal pp, lade Fp={[0],[1],[2],…,[p−1]}\mathbb{F}_p = \left\{ [0], [1], [2], \ldots, [p-1] \right\} betegne en mængde med pp elementer. Hvis vi definerer
    [a]+[b]=[c], [a] + [b] = [c],
    hvor c∈{0,1,2,…,p−1}c \in \{ 0,1,2,\ldots,p-1 \} betegner resten ved division af pp op i summen a+ba+b, samt
    [a]⋅[b]=[d], [a] \cdot [b] = [d],
    hvor d∈{0,1,2,…,p−1}d \in \left\{ 0,1,2,\ldots,p-1 \right\} betegner resten ved division af pp op i produktet a⋅ba \cdot b, så er Fp\mathbb{F}_p et legeme. Beviset herfor, specielt at der eksisterer multiplikative inverse, er ikke helt oplagt.
  3. Hvis vi betragter mængden {[0],[1],[2],[3]} \left\{ [0], [1], [2], [3] \right\}, hvor addition og multiplikation er defineret tilsvarende som i Eksempel A.3 (b.) (ved rest ved division med 44 i dette tilfælde), så er {[0],[1],[2],[3]} \left\{ [0], [1], [2], [3] \right\} ikke et legeme. Problemet er, at den eneste mulighed for et multiplikativt neutralt element er [1][1], men der findes ikke noget element [a][a], så
    [2]⋅[a]=[1]. [2] \cdot [a] = [1].
De i Definition A.1 krævede egenskaber ved et legeme implicerer, at addition og multiplikation opfører sig som de tilsvarende operationer i R\mathbb{R}. F.eks. har vi:
Lad F\mathbb{F} betegne et legeme. Så:
  1. Der eksisterer kun ét additivt og multiplikativt neutralelement.
  2. De additive og multiplikative inverse er entydigt bestemte.
  3. Hvis α,β,γ∈F\alpha,\beta,\gamma \in \mathbb{F}, og
    β+α=γ+α, \beta +\alpha= \gamma + \alpha,
    så er β=γ\beta=\gamma.
  4. Lad α,β,γ∈F\alpha,\beta,\gamma \in \mathbb{F}, og antag at
    β⋅α=γ⋅α. \beta \cdot\alpha= \gamma \cdot \alpha.
    Hvis α≠0\alpha \neq 0, så er β=γ\beta=\gamma.
  5. For alle α∈F\alpha \in \mathbb{F} har vi: α⋅0=0\alpha \cdot 0 = 0.
  6. For alle α∈F\alpha \in \mathbb{F} har vi: −α=(−1)⋅α-\alpha = (-1) \cdot \alpha.

Bevis

Antag, at 00 og 0~\tilde 0 begge opfylder egenskab Definition A.1 (c.) i definitionen på et legeme. Så er
0+0~=0~,\begin{aligned} 0 + \tilde 0 &= \tilde 0, \end{aligned}
og
0~+0=0.\begin{aligned} \tilde 0 + 0 &= 0. \end{aligned}
Idet addition er kommutativt, så har vi derfor, at
0~=0+0~=0~+0=0, \tilde 0 = 0 + \tilde 0 = \tilde 0 + 0 = 0,
hvoraf det følger, at det additive neutralelement er entydigt bestemt. Tilsvarende vises, at det multiplikative neutralelement er entydig bestemt.
Udsagn (c.) følger via beregningerne
β=0+β(jf. Defn. A.1 (c.))=β+0(jf. Defn. A.1 (a.))=β+(α+(−α))(jf. Defn. A.1 (d.))=(β+α)+(−α)(jf. Defn. A.1 (b.))=(γ+α)+(−α)(jf. antagelse)=γ+(α+(−α))(jf. Defn. A.1 (b.))=γ+0(jf. Defn. A.1 (d.))=0+γ(jf. Defn. A.1 (a.)) =γ(jf. Defn. A.1 (c.)).\begin{aligned} \beta & = 0 + \beta & & \text{(jf. Defn. \href{#def:legeme}{A.1} \href{#item:def:legeme:3}{(c.)})} \\ & = \beta + 0 & & \text{(jf. Defn. \href{#def:legeme}{A.1} \href{#item:def:legeme:1}{(a.)})} \\ & = \beta + (\alpha + (-\alpha) ) & & \text{(jf. Defn. \href{#def:legeme}{A.1} \href{#item:def:legeme:4}{(d.)})} \\ & = (\beta + \alpha) + (-\alpha) & & \text{(jf. Defn. \href{#def:legeme}{A.1} \href{#item:def:legeme:2}{(b.)})} \\ & = (\gamma + \alpha) + (-\alpha) & & \text{(jf. antagelse)} \\ & = \gamma + (\alpha + (-\alpha) )& & \text{(jf. Defn. \href{#def:legeme}{A.1} \href{#item:def:legeme:2}{(b.)})} \\ & = \gamma + 0 & & \text{(jf. Defn. \href{#def:legeme}{A.1} \href{#item:def:legeme:4}{(d.)})} \\ & = 0 + \gamma & & \text{(jf. Defn. \href{#def:legeme}{A.1} \href{#item:def:legeme:1}{(a.)}) } \\ & = \gamma & & \text{(jf. Defn. \href{#def:legeme}{A.1} \href{#item:def:legeme:3}{(c.)})}. \end{aligned}
Tilsvarende vises udsagn (d.).
Vi kan nu vise udsagn (b.): Antag at −α-\alpha og xx begge opfylder egenskaben angivet i Definition A.1 (d.); dvs. at
α+(−α)=0=α+x. \alpha + (-\alpha) = 0 = \alpha + x.
Ifølge Definition A.1 (a.) så har vi dermed
(−α)+α=x+α, (-\alpha) + \alpha = x + \alpha,
og ved anvendelse af det just viste udsagn (c.), så opnår vi da, at x=−αx=-\alpha. Dermed er additive inverse elementer entydigt bestemte. Tilsvarende vises, at multiplikative inverse elementer er entydigt bestemte.
For at vise udsagn (e.) så anvender vi, at identiteten
0+0=0, 0 + 0 = 0 ,
er opfyldt jf. egenskab Definition A.1 (c.). Dermed er
0+(α⋅0)=α⋅0=α⋅(0+0)=(α⋅0)+(α⋅0), 0 + (\alpha \cdot 0) = \alpha \cdot 0 = \alpha \cdot ( 0 + 0) = ( \alpha \cdot 0) + (\alpha \cdot 0),
jf. Definition A.1 (i.), og (e.) følger nu fra det allerede viste udsagn (c.).
Endelig følger udsagn (f.) af
α+((−1)⋅α)=(1⋅α)+((−1)⋅α)(jf. Defn. A.1 (g.))=(α⋅1)+(α⋅(−1))(jf. Defn. A.1 (e.))=α⋅(1+(−1))(jf. Defn. A.1 (i.))=α⋅0(jf. Defn. A.1 (d.))=0,(jf. (e.))\begin{aligned} \alpha+ ((-1) \cdot \alpha ) & = (1 \cdot \alpha) + ((-1) \cdot \alpha) & & \text{(jf. Defn. \href{#def:legeme}{A.1} \href{#item:def:legeme:7}{(g.)})} \\ & = (\alpha \cdot 1) + (\alpha \cdot (-1)) & & \text{(jf. Defn. \href{#def:legeme}{A.1} \href{#item:def:legeme:5}{(e.)})} \\ & = \alpha \cdot ( 1 + (-1) ) & & \text{(jf. Defn. \href{#def:legeme}{A.1} \href{#item:def:legeme:9}{(i.)})} \\ & = \alpha \cdot 0 & & \text{(jf. Defn. \href{#def:legeme}{A.1} \href{#item:def:legeme:4}{(d.)})} \\ & = 0, & & \text{(jf. \href{#item:lem:legemer:e}{(e.)})} \end{aligned}
og det ønskede følger nu ved anvendelse af (b.).

Quiz

Hvilke af følgende mængder er et legeme, når vi definerer addition og multiplikation på sædvanlig vis.
N\mathbb{N}
[0,1][0,1]
C\mathbb{C}
{0,1} \{0,1\}
R\mathbb{R}
Q\mathbb{Q}
{0} \{0\}
Mængden af alle primtal

A.1 Mængderne Fn\mathbb{F}^n

I det følgende betegner F\mathbb{F} et legeme. For et givet naturligt tal nn vil Fn\mathbb{F}^n betegne mængden af alle søjlevektorer
(α1α2⋮αn),(A.3) \begin{pmatrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \vdots \\ \alpha_n \\ \end{pmatrix} , \tag{A.3}
hvor α1,α2,…,αn\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n betegner elementer i F\mathbb{F}. Skalaren αi\alpha_i, for i=1,2,…,ni=1,2,\ldots,n, kaldes for den ii'te koordinat af (A.3). Det specielle element i Fn\mathbb{F}^n med alle koordinater lig 00 betegnes 0\bm{0}. Udover at være en mængde så er Fn\mathbb{F}^n også udstyret med en addition defineret ved
(α1α2⋮αn)+(β1β2⋮βn)=(α1+β1α2+β2⋮αn+βn),(A.4) \begin{pmatrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \vdots \\ \alpha_n \\ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \beta_1 \\ \beta_2 \\ \vdots \\ \beta_n \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha_1 + \beta_1 \\ \alpha_2 + \beta_2 \\ \vdots \\ \alpha_n + \beta_n \\ \end{pmatrix} , \tag{A.4}
samt en metode, kaldet skalarmultiplikation, til at gange en skalar β∈F\beta \in \mathbb{F} på et element i Fn\mathbb{F}^n:
β⋅(α1α2⋮αn)=(βα1βα2⋮βαn).(A.5) \beta \cdot \begin{pmatrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \vdots \\ \alpha_n \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \beta \alpha_1 \\ \beta \alpha_2 \\ \vdots \\ \beta \alpha_n \\ \end{pmatrix} . \tag{A.5}
For v∈Fn{\bm{v}} \in \mathbb{F}^n anvender vi den korte notation −v-{\bm{v}} om (−1)⋅v(-1)\cdot {\bm{v}}. Samtidig anvender vi notationen w−v\bm{w} - {\bm{v}} om elementet w+(−v)\bm{w} + (-{\bm{v}}), når w∈Fn\bm{w} \in \mathbb{F}^n.
Som for addition og multiplikation indenfor legemer, så er udtryk af formen (for v,w∈Fn{\bm{v}},\bm{w} \in \mathbb{F}^n, β∈F\beta \in \mathbb{F}):
β⋅v+w,(A.6) \beta \cdot {\bm{v}}+ \bm{w}, \tag{A.6}
tvetydige, med mindre man har gjort sig klart, i hvilken rækkefølge addition og skalarmultiplikation skal udføres. Vi vælger i disse noter at prioritere skalarmultiplikation højere end addition. Dette betyder, at man i tvetydige tilfælde skal udføre enhver skalarmultiplikation før enhver addition. Specielt tolker vi (A.6) som
(β⋅v)+w.(A.7) (\beta \cdot {\bm{v}} ) + \bm{w}. \tag{A.7}
Skalarmultiplikation og addition opfylder følgende naturlige regneregler.
For u,v,w∈Fn\bm{u},{\bm{v}},\bm{w} \in \mathbb{F}^n og α,β∈F\alpha, \beta \in \mathbb{F} gælder der:
  1. u+v=v+u\bm{u} + {\bm{v}} = {\bm{v}} + \bm{u}. (den kommutative lov)
  2. (u+v)+w=u+(v+w)(\bm{u} + {\bm{v}}) + \bm{w} = \bm{u} + ({\bm{v}} + \bm{w}). (den associative lov)
  3. u+0=u\bm{u} + \bm{0} = \bm{u}. (eksistens af neutral element)
  4. u+(−u)=0\bm{u} + (-\bm{u}) = \bm{0}. (eksistens af invers)
  5. α⋅(u+v)=α⋅u+α⋅v\alpha \cdot (\bm{u} + {\bm{v}}) = \alpha \cdot \bm{u} + \alpha \cdot {\bm{v}}. (en distributiv lov)
  6. (α+β)⋅u=α⋅u+β⋅u(\alpha + \beta) \cdot \bm{u} = \alpha \cdot \bm{u} + \beta \cdot \bm{u}. (en distributiv lov)
  7. α⋅(β⋅v)=(αβ)⋅v\alpha \cdot (\beta \cdot {\bm{v}} ) = (\alpha \beta ) \cdot {\bm{v}}.
  8. 1⋅v=v1 \cdot {\bm{v}} = {\bm{v}}.
Visse specielle elementer i Fn\mathbb{F}^n spiller en central rolle. Disse betegnes med e1,e2,…,en\bm{e}_1, \bm{e}_2, \ldots,\bm{e}_n og defineres, for i=1,2,…,ni=1,2,\ldots,n, ved
ei=(0⋮010⋮0),(A.8) \bm{e}_i = \begin{pmatrix} 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ \end{pmatrix} , \tag{A.8}
hvor alle koordinater er lig 00 pånær den ii'te koordinat, som er lig 11. Disse elementer omtales også som standardbasiselementer i Fn\mathbb{F}^n.
Udover Fn\mathbb{F}^n så vil vi også betragte mængden Fˇn\check \mathbb{F}^n bestående af alle rækkevektorer
(α1,α2,…,αn),(A.9) (\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n), \tag{A.9}
hvor α1,α2,…,αn\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n betegner elementer i F\mathbb{F}. Skalaren αi\alpha_i, for i=1,2,…,ni=1,2,\ldots,n, kaldes for den ii'te koordinat for (A.9). Mængden Fˇn\check \mathbb{F}^n er udstyret med en addition og en skalarmultiplikation, der defineres tilsvarende som for Fn\mathbb{F}^n; dvs. koordinatvis. Alle ovenstående bemærkninger for Fn\mathbb{F}^n kan da overføres til mængden Fˇn\check \mathbb{F}^n.